Potęgi i pierwiastki - Matma.com.pl

Potęgi

Potęga to nic innego jak wielokrotny iloczyn jednakowych czynników.

$a^{1}=a$ pierwsza potęga liczby $a$

$a^{2}=a\cdot a$ druga potęga liczby $a$

$a^{3}=a\cdot a\cdot a$ trzecia potęga liczby $a$

$\vdots$

$a^{n}=a\cdot a\cdot ...\cdot a$ n-ta potęga liczby $a$

n-ta potęga liczby. a to iloczyn n czynników a.

$a^{0}=1$

Pamiętaj, że potęgowanie $0^{0}$ nie jest wykonalne!

Parzysta potęga każdej liczby jest liczbą dodatnią.

$5^{3}=5\cdot 5\cdot 5=125$

$\left ( -\frac{1}{2} \right )^{4}=\left ( -\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )=\frac{1}{16}$

Nieparzysta potęga liczby ujemnej jest liczba ujemną.

$\left (-0,1 \right )^{3}=\left (-0,1 \right )\cdot \left (-0,1 \right )\cdot \left (-0,1 \right )=-0,001$

Działania na potęgach

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

$3^{2}\cdot 3^{5}=3^{2+5}=3^{7}$

$a^{m}: a^{n}=a^{m-n}$ dla $a\neq 0$

$5^{5}:5^{2}=5^{5-2}=5^{3}$

$\left (a^{m} \right )^{n}=a^{m\cdot n}$

$\left (2^{3} \right )^{6}=2^{3\cdot 6}=2^{18}$

$\left ( a\cdot b \right )^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

$\left (3\cdot 10 \right )^{3}=3^{3}\cdot 10^{3}=27\cdot 1000=27000$

$\left ( a:b \right )^{n}=a^{n}:b^{n}$ dla $b\neq 0$

$\left (10:5 \right )^{3}=10^{3}:5^{3}=1000:125=8$

Oczywiście znak dzielenia możemy zastąpić kreską ułamkową.

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to notacja naukowa. Służy do zapisywania bardzo dużych lub bardzo małych wielkości. Jest to iloczyn liczby większej lub równej 1, ale mniejszej od 10 i potęgi liczby 10.

Spróbujmy zapisać duża liczbę w postaci notacji wykładniczej.

$3400000=3,4\cdot 10^{^{6}}$ ( przesuwamy przecinek o 6 miejsc w lewo)

$0,000053=5,3\cdot 10^{-5}$ (przesuwamy przecinek o 5 miejsc w prawo)

Pierwiastki

Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania.

Pierwiastek kwadratowy (pierwiastek drugiego stopnia) z danej liczby nieujemnej a jest to liczba nieujemna b taka, że jej kwadrat jest równy a. Liczbę a pod pierwiastkiem nazywamy liczba podpierwiastkową.

Mówiąc pierwiastek mamy na myśli pierwiastek kwadratowy. Najczęściej zapisujemy symbolem $\sqrt{ \: \: }$ . Trzeba pamiętać, że jest on jednoznaczny z zapisem $\sqrt[2]{ \: \: }$ .

Przykłady:

$\sqrt{4}=2\; \; bo\; \; 2^{2}=4$

$\sqrt{1,69}=1,3\; \; bo\; \; \left (1,3 \right )^{2}=1,69$

$\sqrt{0}=0\; \; bo\; \; 0^{2}=0$

$\sqrt{\frac{1}{64}}=\frac{1}{8}\; \; bo\; \; \left ( \frac{1}{8} \right )^{2}=\frac{1}{64}$

Pierwiastek sześcienny (pierwiastek trzeciego stopnia) z danej liczby nieujemnej a jest to liczba nieujemna b taka, że jej sześcian (trzecia potęga) jest równy a.