Rachunek algebraiczny - Matma.com.pl

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia, w których obok liczb i znaków występują też litery.

$a+6,\, \frac{x}{7}, \, m^{2}$

Wyrażenia algebraiczne, w których nie występują litery nazywamy wyrażeniami arytmetycznymi.

$3,6:(-2\; \; ),\; \; \left (\frac{1}{2} \right )^{2}\: \: ,\: \: 5\cdot 12$

Wyrażeniami algebraicznymi są wyrażenia arytmetyczne, pojedyncze litery oraz pojedyncze liczby i trzeba o tym pamiętać!

Znak mnożenia w wyrażeniach algebraicznych możemy nieraz pominąć, ale musimy pamiętać, że to nadal jest iloczyn. Nie możemy pominąć znaku mnożenia, jeśli przed liczba występuje litera.

$5\cdot m\cdot n=5mn$

$\frac{3\cdot a}{5}=\frac{3a}{5}$

Jeżeli, litery występujące w wyrażeniu zastąpimy liczbami, to po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzymamy wartość liczbową wyrażenia algebraicznego.

Obliczmy wartość wyrażenia $a+3b$ dla $a=1,\: b=\left ( -1 \right )$

$1+3\cdot \left ( -1 \right )=1+\left ( -3 \right )=1-3=-2$

Pojedyncze liczby, litery oraz ich iloczyny nazywamy jednomianami. Jednomian jest uporządkowany, jeśli na początku jest liczba, a później litery w kolejności alfabetycznej.

$-9xz^{3},\: 0,25ab^{3},\: \frac{1}{7}mn^{3}$

Występującą na początku jednomianu liczbę nazywamy współczynnikiem liczbowym tego jednomianu.

współczynnikiem liczbowym $-9abc^{3}$ jest $-9$

współczynnikiem liczbowym $\frac{1}{7}x$ jest $\frac{1}{7}$

współczynnikiem liczbowym $mn$ jest $1$

Jednomiany są podobne, gdy ich czynniki literowe są takie same.

$5a^{2}bc,\: \frac{3}{4}a^{2}bc,\: 0,33a^{2}bc$

Aby dobrze przeczytać wyrażenie algebraiczne zaczynamy od ostatniego działania, zgodnie z kolejnością ich wykonywania, a mianowicie:

$x+5$ przeczytamy: suma liczby $x$ i liczby 5;
$6\cdot \left ( 5-b \right )$ iloczyn liczby $6$ oraz różnicy liczby $5$ i liczby $b$ oraz liczby;
$\frac{a^{2}-b^{3}}{2}$ iloraz różnicy kwadratu liczby $a$ i sześcianu liczby $b$ przez liczbę $2$ .

Suma jednomianów nazywamy sumą algebraiczną lub inaczej wielomianami.

Składniki sumy algebraicznej nazywamy wyrazami. Natomiast wyrazy, które różnią się tylko współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi. Jeśli pododajemy do siebie wyrazy podobne w naszej sumie algebraicznej to ją uprościmy. Takie działanie nazywamy redukcją wyrazów podobnych.

$a+a+b+c-a+b+c+c=a+2b+3c$

$6x^{2}-3+4x^{2}+3=10x^{2}$

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Jeśli jakiś składnik naszej sumy algebraicznej występuje w nawiasie, to opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne, doprowadzając sumę do najprostszej postaci. Musimy pamiętać, że jeśli przed nawiasem występuje znak minus, to należy zmienić znak każdego z wyrazów na przeciwny.

$\left ( 3x+4y \right )+\left ( 2x-y+1 \right )=3x+4y+2x-y+1=5x+3y+1$

$\left ( 3x^{2}+4y^{2} +5\right )-\left ( 2x^{2}-y^{2}+1 \right )=3x^{2}+4y^{2}+5-2x^{2}+y^{2}-1=x^{2}+5y^{2}+4$

Mnożenie i dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę

Aby pomnożyć (podzielić) sumę algebraiczna przez liczbę należy każdy składnik naszej sumy pomnożyć przez tę liczbę. Pamiętajmy, że mnożenie jest przemienne, a dzielenie nie.

$\left ( 3a+5b \right )\cdot 2=3a\cdot 2+5b\cdot 2=6a+10b$

$\left (4x^{2}-20x+8 \right ):4=4x^{2}:4-20x:4+8:4=x^{2}-5x+2$

dzielenie jest jednoznaczne z zastosowaniem kreski ułamkowej.

$\frac{\left (4x^{2}-20x+8 \right )}{4}=\frac{4x^{2}}{4}-\frac{20x}{4}+\frac{8}{4}=x^{2}-5x+2$

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Zamieniamy składniki naszej sumy algebraicznej na iloczyny i wyłączamy wspólny element dla wszystkich składników przed nawias.

$10x^{2}-15x+25=5\cdot 2\cdot x^{2}-5\cdot 3\cdot x+5\cdot 5=5\left ( 2x^{2}-3x +5\right )$

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożymy każdy składnik pierwszej sumy przez każdy składnik drugiej sumy. Pamiętając, przy tym, o znakach jakie występują przy składnikach.

$\left (x+6 \right )\left ( x-3 \right )=x\cdot x-x\cdot 3+6\cdot x-6\cdot 3=x^{2}-3x+6x-18=x^{2}+3x-18$

Was this helpful?

6 / 8