Wyrażenia algebraiczne i równania

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia, w których obok liczb i znaków występują też litery.

$a+6,\, \frac{x}{7}, \, m^{2}$

Wyrażenia algebraiczne, w których nie występują litery nazywamy wyrażeniami arytmetycznymi.

$3,6:(-2\; \; ),\; \; \left (\frac{1}{2} \right )^{2}\: \: ,\: \: 5\cdot 12$

Wyrażeniami algebraicznymi są wyrażenia arytmetyczne, pojedyncze litery oraz pojedyncze liczby i trzeba o tym pamiętać!

Pojedyncze liczby, litery oraz ich iloczyny nazywamy jednomianami .

$-9xz^{3},\: 0,25ab^{3},\: \frac{1}{7}mn^{3}$

Suma jednomianów nazywamy sumą algebraiczną lub inaczej wielomianami.

Składniki sumy algebraicznej nazywamy wyrazami. Natomiast wyrazy, które różnią się tylko współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi. Jeśli pododajemy do siebie wyrazy podobne w naszej sumie algebraicznej to ją uprościmy. Takie działanie nazywamy redukcją wyrazów podobnych.

$a+a+b+c-a+b+c+c=a+2b+3c$

$6x^{2}-3+4x^{2}+3=10x^{2}$

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Jeśli jakiś składnik naszej sumy algebraicznej występuje w nawiasie, to opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne, doprowadzając sumę do najprostszej postaci. Musimy pamiętać, że jeśli przed nawiasem występuje znak minus, to należy zmienić znak każdego z wyrazów na przeciwny.

$\left ( 3x+4y \right )+\left ( 2x-y+1 \right )=3x+4y+2x-y+1=5x+3y+1$

$\left ( 3x^{2}+4y^{2} +5\right )-\left ( 2x^{2}-y^{2}+1 \right )=3x^{2}+4y^{2}+5-2x^{2}+y^{2}-1=x^{2}+5y^{2}+4$

Mnożenie i dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę

Aby pomnożyć (podzielić) sumę algebraiczna przez liczbę należy każdy składnik naszej sumy pomnożyć przez tę liczbę. Pamiętajmy, że mnożenie jest przemienne, a dzielenie nie.

$\left ( 3a+5b \right )\cdot 2=3a\cdot 2+5b\cdot 2=6a+10b$

$\left (4x^{2}-20x+8 \right ):4=4x^{2}:4-20x:4+8:4=x^{2}-5x+2$

Dzielenie jest jednoznaczne z zastosowaniem kreski ułamkowej.

$\frac{\left (4x^{2}-20x+8 \right )}{4}=\frac{4x^{2}}{4}-\frac{20x}{4}+\frac{8}{4}=x^{2}-5x+2$

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Zamieniamy składniki naszej sumy algebraicznej na iloczyny i wyłączamy wspólny element dla wszystkich składników przed nawias.

$10x^{2}-15x+25=5\cdot 2\cdot x^{2}-5\cdot 3\cdot x+5\cdot 5=5\left ( 2x^{2}-3x +5\right )$

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożymy każdy składnik pierwszej sumy przez każdy składnik drugiej sumy. Pamiętając, przy tym, o znakach jakie występują przy składnikach.

$\left (x+6 \right )\left ( x-3 \right )=x\cdot x-x\cdot 3+6\cdot x-6\cdot 3=x^{2}-3x+6x-18=x^{2}+3x-18$

Równanie to nic innego jak przyrównane jednego wyrażenie algebraicznego do innego wyrażenia algebraicznego.

$a+6=10$

Litera w równaniu oznacza niewiadomą. Aby rozwiązać dane równanie musimy znaleźć liczbę lub liczby, która je spełnia. Czyli po podstawieniu liczby do równania, zamiast niewiadomej, otrzymamy równość. Liczbę tą nazywamy rozwiązaniem równania lub pierwiastkiem równania.

Rozwiązaniem równania $3x=6$ jest $x=2$

Równanie, w którym występuje jedna litera jako niewiadoma nazywamy równaniem z jedną niewiadomą.

$x^{2}+2x+4=0\; \; ,\; \; \frac{1}{2}y^{2}=2 \; \; ,\; \; 8a-1=7$

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą jest to równanie, w którym występuje litera w pierwszej potędze.

$10+5x=5\; \; ,\; \; a+3=3\; \; ,\; \; \frac{1}{2}m=2$

Jeśli rozwiązujemy równanie możemy:

do obu stron dodać taką samą liczbę lub wyrażenie,
od obu stron odjąć taką samą liczbę lub wyrażenie,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić, przez taką samą liczbę, różną od zera.

Równanie z jedną niewiadoma może mieć:

jedno rozwiązanie

$3a=3\; \; /:3$

$a=1$

dwa rozwiązania

$y^{2}=9$

$y=3$ lub $y=-3$

trzy rozwiązania

$x(x-1)(x-2)=0$

Iloczyn będzie równy zero kiedy jeden z jego elementów będzie równy zero.

$x=0$ lub $x=1$ lub $x=2$

$\vdots$

wiele rozwiązań. Spełnia je każda liczba podstawiona w miejsce niewiadomej. Takie równanie nazywamy tożsamością lub równaniem tożsamościowym.

$2x+8=2\left (x+4 \right )$

Równanie może też nie mieć żadnego rozwiązania. Czyli nie istnieje taka liczba, która może spełniać dane równanie. Takie równanie nazywamy sprzecznym.

$x=x+6$

$0\cdot x=6$ Takiego równania nie spełnia żadna liczba.

$0\neq 6$

Równania, które mają taki sam zbiór rozwiązań nazywamy równoważnymi. Czyli rozwiązanie jednego i drugiego równania jest takie samo. I tu trzeba uważać, bo jeśli dwa równania nie mają rozwiązań, to też będą równoważne, tak samo jak dwa równania mające wiele rozwiązań.
Przykład równań równoważnych:

$x-5=3$ i $x=8$

Znalezienie dobrego rozwiązania zadanie tekstowe często sprowadza się to do ułożenia odpowiedniego równania. W takim wypadku należy stosować się do kilu kroków:

Ustalamy co jest niewiadomą.
Zapisujemy równanie, które wynika z treści.
Rozwiązujemy równanie.
Sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie spełnia równanie.
Zapisujemy odpowiedź.

Przekształcanie wzorów

W równaniach możemy mieć jedną lub więcej niewiadomych. Na przykład, we wzorach z geometrii. Przekształcenie wzorów polega na wyrażeniu jednej z nich za pomocą pozostałych. Aby ze wzoru wyznaczyć jedną z niewiadomych postępujemy podobnie jak w przypadku równań. Mianowicie:

do obu stron dodać takie samo wyrażenie;
od obu stron odjąć takie same wyrażenie;
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić, przez takie samo wyrażenie, zakładając dodatkowo, że wyrażenie to musi być różne od zera.

Weźmy wzór na pole trójkąta. I wyznaczmy z niego niewiadomą $a$

$P=\frac{1}{2}a\cdot h\; \; /\cdot 2$

$2P=a\cdot h\; \; /:h\; \; i\: h\neq 0$

$\frac{2P}{h}=a$

Was this helpful?

1 / 0