Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa jest także bardzo pomocne jeśli jesteśmy w stanie wyodrębnić w jakiejś figurze płaskiej trójkąt prostokątny.

Kwadrat i twierdzenie Pitagorasa

$d$ to długość przekątnej.

Widzimy, że jeśli podzielimy kwadrat na pół to otrzymamy dwa trójkąty prostokątne.

Stosując twierdzenie Pitagorasa możemy teraz bez problemu obliczyć przekątną:

$a^{2}+a^{2}=d^{2}$

$2a^{2}=d^{2}$

$a\sqrt{2}=d$

Kąty w kwadracie

Jeśli poprowadzimy przekątną w kwadracie to otrzymamy dwa trójkąty prostokątne

Możemy stwierdzić, że w trójkącie prostokątnym o dwóch kątach ostrych równych $45^{\circ }$ i przyprostokątnej równej $a$ wszystkie boki są długości $a,\; a,\; a\sqrt{2}$ .

Trójkąt równoboczny i twierdzenie Pitagorasa

Widzimy, że jeśli zaznaczymy jedną z wysokości w trójkącie równobocznym to otrzymamy dwa trójkąty prostokątne.

Stosując twierdzenie Pitagorasa możemy teraz bez problemu obliczyć wysokość i pole.

$h^{2}+\left (\frac{a}{2} \right )^{2}=a^{2}$

$h^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{4}$

$h^{2}=\frac{3}{4}a^{2}$

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$P=\frac{1}{2}a\cdot h$

$P=\frac{1}{2}a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$P=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Kąty w trójkącie równobocznym i prostokątnym

Kąty w trójkącie równobocznym są równe $60^{\circ }$ . Jeśli poprowadzimy wysokość to podzieli ona kąt na połowę i otrzymamy dwa trójkąty prostokątne o kątach $30^{\circ },\; 60^{\circ },\; 90^{\circ }$

Możemy stwierdzić, że w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych $30^{\circ },\; 60^{\circ }$ i przeciwprostokątnej długości $a$ długości boków przyprostokątnych są równe odpowiednia: krótsza przyprostokątna $\frac{a}{2}$ , dłuższa przyprostokątna $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Twierdzenie Pitagorasa możemy również zastosować chcąc obliczyć długość w układzie współrzędnych.

Weźmy dowolny odcinek o początku w punkcie $A=\left ( -2,-1 \right )$ i końcu w punkcie $B=\left ( 1,3 \right )$ . Następnie obliczmy jego długość korzystając z twierdzenia Pitagorasa.