IV.Potęgi. Notacja wykładnicza. Pierwiastki

Potęgi

Potęga to nic innego jak wielokrotny iloczyn jednakowych czynników.

$a^{1}=a$ pierwsza potęga liczby $a$

$a^{2}=a\cdot a$ druga potęga liczby $a$

$a^{3}=a\cdot a\cdot a$ trzecia potęga liczby $a$

$\vdots$

$a^{n}=a\cdot a\cdot ...\cdot a$ n-ta potęga liczby $a$

n-ta potęga liczby. a to iloczyn n czynników a.

$a^{0}=1$

Pamiętaj, że potęgowanie $0^{0}$ nie jest wykonalne!

Parzysta potęga każdej liczby jest liczbą dodatnią.

$2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

Nieparzysta potęga liczby dodatniej jest liczbą dodatnią.

$5^{3}=5\cdot 5\cdot 5=125$

Parzysta potęga liczby ujemnej jest liczbą dodatnią.

$\left ( -\frac{1}{2} \right )^{4}=\left ( -\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )=\frac{1}{16}$

Nieparzysta potęga liczby ujemnej jest liczba ujemną.

$\left (-0,1 \right )^{3}=\left (-0,1 \right )\cdot \left (-0,1 \right )\cdot \left (-0,1 \right )=-0,001$

Działania na potęgach

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

$3^{2}\cdot 3^{5}=3^{2+5}=3^{7}$

$a^{m}: a^{n}=a^{m-n}$ dla $a\neq 0$

$5^{5}:5^{2}=5^{5-2}=5^{3}$

$\left (a^{m} \right )^{n}=a^{m\cdot n}$

$\left (2^{3} \right )^{6}=2^{3\cdot 6}=2^{18}$

$\left ( a\cdot b \right )^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

$\left (3\cdot 10 \right )^{3}=3^{3}\cdot 10^{3}=27\cdot 1000=27000$

$\left ( a:b \right )^{n}=a^{n}:b^{n}$ dla $b\neq 0$

$\left (10:5 \right )^{3}=10^{3}:5^{3}=1000:125=8$

Oczywiście znak dzielenia możemy zastąpić kreską ułamkową.

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to notacja naukowa. Służy do zapisywania bardzo dużych lub bardzo małych wielkości. Jest to iloczyn liczby większej lub równej 1, ale mniejszej od 10 i potęgi liczby 10.

$a\cdot 10^{n}{\color{DarkGreen} }$ dla $a\geq 1\; \; i\; \; a< 10$

Spróbujmy zapisać dużą i małą liczbę w postaci notacji wykładniczej.

$3400000=3,4\cdot 10^{^{6}}$ ( przesuwamy przecinek o 6 miejsc w lewo)

$0,000053=5,3\cdot 10^{-5}$ (przesuwamy przecinek o 5 miejsc w prawo)

Pierwiastki

Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania.

Pierwiastek kwadratowy (pierwiastek drugiego stopnia) z danej liczby nieujemnej a jest to liczba nieujemna b taka, że jej kwadrat jest równy a. Liczbę a pod pierwiastkiem nazywamy liczba podpierwiastkową.

Mówiąc pierwiastek mamy na myśli pierwiastek kwadratowy. Najczęściej zapisujemy symbolem $\sqrt{ \: \: }$ . Trzeba pamiętać, że jest on jednoznaczny z zapisem $\sqrt[2]{ \: \: }$ .

Przykłady:

$\sqrt{4}=2\; \; bo\; \; 2^{2}=4$

$\sqrt{1,69}=1,3\; \; bo\; \; \left (1,3 \right )^{2}=1,69$

$\sqrt{0}=0\; \; bo\; \; 0^{2}=0$

$\sqrt{\frac{1}{64}}=\frac{1}{8}\; \; bo\; \; \left ( \frac{1}{8} \right )^{2}=\frac{1}{64}$

Pierwiastek sześcienny (pierwiastek trzeciego stopnia) z danej liczby nieujemnej a jest to liczba nieujemna b taka, że jej sześcian (trzecia potęga) jest równy a.

Przykłady:

$\sqrt[3]{8}=2\; \; bo\; \; 2^{3}=8$

$\sqrt[3]{-125}=-5\; \; bo\; \; \left (-5 \right )^{3}=-125$

$\sqrt[3]{0}=0\; \; bo\; \; 0^{3}=0$

$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}\; \; bo\; \; \left ( \frac{1}{3} \right )^{3}=\frac{1}{27}$

Działania na pierwiastkach:

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ dla $a\geq 0\; i \; b\geq 0$

$\sqrt{2500}=\sqrt{25\cdot 100}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{100}=5\cdot 10=50$

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ dla $a\geq 0\; i \; b> 0$

$\sqrt{0,04}=\sqrt{\frac{4}{100}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}}=\frac{\cancel{2}}{\cancel{10}}=\frac{1}{5}=0,2$

$\sqrt[3]{a\cdot b}=\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b}$ dla dowolnych a i b

$\sqrt[3]{64000}=\sqrt[3]{64\cdot 1000}=\sqrt[3]{64}\cdot \sqrt[3]{1000}=4\cdot 10=40$

$\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ dla dowolnego a i $b\neq 0$

$\sqrt[3]{-0,125}=\sqrt[3]{-\frac{125}{1000}}=-\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{1000}}=-\frac{\cancel{5}}{\cancel{10}}=-\frac{1}{2}=-0,5$

Przypomnijmy sobie jeszcze reguły kolejności wykonywania działań:

nawiasy informują nas o tym, że działania w nich wykonujemy w pierwszej kolejności;
potęgowanie i pierwiastkowanie ma pierwszeństwo przed mnożeniem, dzieleniem, dodawaniem i odejmowaniem;
mnożenie i dzielenie są to działania, które wykonujemy przed dodawaniem i odejmowaniem, ale gdy występuje mnożenie obok dzielenia wówczas wykonujemy je po kolei, tak jak występują – od lewej strony;
dodawanie i odejmowanie działania, które wykonujemy na samym końcu, natomiast gdy występują jedno obok drugiego to wykonujemy je po kolei, tak jak występują – od lewej strony.

Zadanie 1

Oblicz: