2022 wrzesień podstawa

zadanie 1 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $\left ( 1+3\cdot 2^{-1} \right )^{-2}$ jest równa

A. $\frac{25}{4}$

B. $\frac{4}{25}$

C. $\frac{36}{49}$

D. $\frac{40}{9}$

zadanie 2 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $2\log _{5}5+1-\frac{1}{2}\log _{5}625$ jest równa

A. $1$

B. $5$

C. $10$

D. $25$

zadanie 3 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez $25$ , jest

A. $9\cdot 9\cdot 2$

B. $9\cdot 10\cdot 2$

C. $9\cdot 9\cdot 4$

D. $9\cdot 10\cdot 4$

zadanie 4 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 1$ wyrażenie $\frac{2}{x-1}-5$ jest równe

A. $\frac{-5x+1}{x-1}$

B. $\frac{-5x+7}{x-1}$

C. $\frac{-5x+3}{x-1}$

D. $\frac{-5x-3}{x-1}$

zadanie 5 (0-2)

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $y$ wyrażenie $9-\left ( x^2-2xy+y^2 \right )$ jest równe

A. $\left [ 3-\left ( x-2y \right ) \right ]^2$

B. $\left [ 3+\left ( x-2y \right ) \right ]^2$

C. $\left [ 3-\left ( x+2y \right ) \right ]^2$

D. $\left [ 3-\left ( x-y \right ) \right ]\cdot \left [ 3+\left ( x-y \right ) \right ]$

E. $\left [ 3-\left ( x+2y \right ) \right ]\cdot \left [ 3+\left ( x+2y \right ) \right ]$

F. $-\left [ \left ( x-y \right ) -3\right ]\cdot \left [ \left ( x-y \right ) +3\right ]$

zadanie 6 (0-3)

Rozwiąż równanie

$3x^3-6x^2-27x+54=0$

Zapisz obliczenia.

zadanie 7 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

$\frac{\left ( x^2+x \right )\left ( x+3 \right )\left ( x-1 \right )}{x^2-1}=0$

ma w zbirze liczb rzeczywistych dokładnie

A. jedno rozwiązanie : $x=-3$

B. dwa rozwiązania: $x=-3$ , $x=0$

C. trzy rozwiązania: $x=-3$ , $x=-1$ , $x=0$

D. cztery rozwiązania: $x=-3$ , $x=-1$ , $x=0$ , $x=1$

zadanie 8 (0-1)

Spośród nierówności A-D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.

A. $\left | x+2 \right |\leq 2$

B. $\left | x-2 \right |\leq 2$

C. $\left | x+2 \right |\geq 2$

D. $\left | x-2 \right |\geq 2$

zadanie 9 (0-1)

Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę $1040$ zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach $20$ zł, $50$ zł oraz $100$ zł. Banknotów 100-złotowych było dwa razy więcej niż 50-złotowych, a banknotów 20-złotowych było o $2$ mniej niż 50-złotowych.

Niech $x$ oznacza liczbę banknotów 50-złotowych, a $y$ – liczbę banknotów 20-złotowych, które otrzymał ten klient.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb $x$ i $y$ to

A. $\left\{\begin{matrix} 20y+50x+100\cdot 2x=1040\\ y=x-2 \end{matrix}\right.$

B. $\left\{\begin{matrix} 20y+50x+50\cdot 2x=1040\\ y=x-2 \end{matrix}\right.$

C. $\left\{\begin{matrix} 20y+50x+100\cdot 2x=1040\\ x=y-2 \end{matrix}\right.$

D. $\left\{\begin{matrix} 20y+50x+50\cdot 2x=1040\\ x=y-2 \end{matrix}\right.$

zadanie 10

Na rysunku w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left ( x,y \right )$ , przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej dla każdego $x\in[-5,4)$ . Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

zadanie 10.1 (0-1)

Zapisz w wykropkowanym miejscu zbiór wartości funkcji $f$ .

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

zadanie 10.2 (0-1)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F- jeśli jest fałszywe.

Dla każdego argumentu z przedziału $\left ( -4,-2 \right )$ funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne.	P	F
Funkcja $f$ ma trzy miejsca zerowe.	P	F

zadanie 10.3 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $[-4,0]$ jest równa

A. $(-4)$

B. $(-3)$

C. $(-2)$

D. $0$

zadanie 11 (0-1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left ( x,y \right )$ dane są: punkt $A=(8,11)$ oraz okrąg o równaniu $\left ( x-3 \right )^2+\left ( y+1 \right )^2=25$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu $A$ od środka tego okręgu jest równa

A. $25$

B. $13$

C. $\sqrt{125}$

D. $\sqrt{265}$

zadanie 12

Basen ma długość $25$ m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa $1,2$ m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku. Głębokość $y$ basenu zmienia się wraz z odległością $x$ od brzegu w sposób opisany funkcją:

$\left\{\begin{matrix}ax+b & \textrm{dla}\; \; 0\leq x\leq 15 \: \textrm{m}\\0,18x-0,9 & \; \; \; \; \; \textrm{dla}\; \; 15 \: \textrm{m}\leq x\leq25\: \textrm{m} \end{matrix}\right.$

Odległość $x$ jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości $x$ i $y$ są wyrażone w metrach.

zadanie 12.1 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największa głębokość basenu jest równa

A. $5,4$ m

B. $3,6$ m

C. $3,3$ m

D. $1,8$ m

zadanie 12.2 (0-2)

Oblicz wartość współczynnika $a$ oraz wartość współczynnika $b$ .

Zapisz obliczenia.

zadanie 13

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-(x-1)^2+2$

zadanie 13.1 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykresem funkcji $f$ jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne

A. $(1,2)$

B. $(-1,2)$

C. $(1,-2)$

D. $(-1,-2)$

zadanie 13.2 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

A. $(-\infty ,2]$

B. $(-\infty ,2)$

C. $(2,+\infty )$

D. $[2,+\infty )$

zadanie 14

Dany jest ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n}=\frac{7^n}{21}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ .

zadanie 14.1 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pięćdziesiątym wyrazem ciągu $(a_{n})$ jest

A. $\frac{7^{49}}{3}$

B. $\frac{7^{50}}{3}$

C. $\frac{7^{51}}{3}$

D. $\frac{7^{52}}{3}$

zadanie 14.2 (0-1)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F- jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny.	P	F
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa $20$ .	P	F

zadanie 15 (0-1)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left ( x,y \right )$ , dana jest prosta $k$ o równaniu $y=3x+b$ , przechodząca przez punkt $A=(-1,3)$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik $b$ w równaniu tej prostej jest równy

A. $0$

B. $6$

C. $(-10)$

D. $8$

zadanie 16

Dany jest ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n}=3n-1$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ .

zadanie 16.1 (0-1)

Dokończ zdanie, tak aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Ciąg $(a_{n})$ jest

A.	rosnący,		1.	$a_{n+1}-a_{n}=-1$
B.	malejący,	ponieważ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$	2.	$a_{n+1}-a_{n}=0$
C.	stały,		3.	$a_{n+1}-a_{n}=3$

zadanie 16.2 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Najmniejszą wartością $n$ , dla której wyraz $a_{n}$ jest większy od $25$ , jest

A. $8$

B. $9$

C. $7$

D. $26$

zadanie 16.3 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa $57$ dla $n$ równego

A. $6$

B. $23$

C. $5$

D. $11$

zadanie 17 (0-1)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left ( x,y \right )$ , dane są:

prosta $k$ o równaniu $y=\frac{1}{2}x+5$
prosta $l$ o równaniu $y-1=-2x$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste $k$ i $l$

A. się pokrywają.

B. nie mają punktów wspólnych.

C. są prostopadłe.

D. przecinają się pod kątem $30^\circ$ .

zadanie 18 (0-1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $\left ( 1-\cos 20^{\circ } \right )\cdot \left ( 1+ \cos 20^\circ \right )-\sin ^{2}20^{\circ }$ jest równa

A. $-1$

B. $0$

C. $1$

D. $20$

zadanie 19 (0-1)

W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy $4:5$ . Z pojemnika losujemy jedną kulę.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

A. $\frac{4}{9}$

B. $\frac{4}{5}$

C. $\frac{1}{9}$

D. $\frac{1}{4}$

zadanie 20 (0-1)

Punkty $A,B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$ . Kąt $ABO$ ma miarę $40^\circ$ , a kąt $OBC$ ma miarę $10^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $ACO$ jest równa

A. $30^\circ$

B. $40^\circ$

C. $50^\circ$

D. $60^\circ$

zadanie 21 (0-2)

Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości $6,7$ oraz $8$ .

Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.

Zapisz obliczenia.

zadanie 22 (0-1)

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma długość $4$ , a bok $BC$ ma długość $4,6$ . Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ w punkcie $D$ takim, że $\left | AD \right |=3,2$ (zobacz rysunek)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $CD$ ma długość

A. $\frac{64}{23}$

B. $\frac{16}{5}$

C. $\frac{23}{4}$

D. $\frac{92}{25}$

zadanie 23 (0-4)

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:

przychód $P$ (w złotych) z tygodniowej sprzedaży $x$ wiatraków można opisać funkcją $P(x)=251x$
koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ wiatraków w ciągu jedneg0 tygodnia można określić funkcją $K(x)=x^2+21x+170$

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej $150$ wiatraków.

Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

zadanie 24

Firma $F$ zatrudnia $160$ osób. Rozkład prac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy $F$ , którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.