2022 czerwiec rozszerzenie

W każdym z zdań od 1. do 4. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź.

zadanie 1 (0-1)

Wiadomo, że $\log _{5}a=2$ i $\log _{5}b=3$ . Wtedy liczba $\log _{18}40$ jest równa

A. $\frac{3a+1}{a+b}$

B. $\frac{2a+1}{a+b}$

C. $\frac{2a+1}{a+2b}$

D. $\frac{3a+1}{2b+a}$

zadanie 2 (0-1)

Granica $\lim_{x\rightarrow -3}\frac{0,5x^2+3,5x+6}{-x^2+2x+15}$ jest równa

A. $\left (-\frac{1}{8} \right )$

B. $\frac{1}{16}$

C. $\left (-\frac{1}{16} \right )$

D. $\frac{7}{4}$

zadanie 3 (0-1)

Sumą wektorów $\vec{a}=\left [ a+2m,\frac{2}{3}n+1 \right ]$ oraz $\vec{b}=\left [ n+1,m+2 \right ]$ oraz wektor $\vec{c}=\left [ 0,0 \right ]$ . Wynika stąd, że

A. $m=1$ i $n=3$ .

B. $m=-9$ i $n=-21$ .

C. $m=3$ i $n=-9$ .

D. $m=-1$ i $n=0$ .

zadanie 4 (0-1)

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach $5$ i $8$ jest równe $12$ . Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa

A. $5$

B. $8$

C. $\sqrt{41}$

D. $\sqrt{143}$

zadanie 5 (0-2)

Wśród $390$ pracowników pewnej firmy jest $150$ kobiet i $240$ mężczyzn. Wśród nich w wieku przedemerytalnym jest $21$ kobiet i $43$ mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwa polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy w wieku przedemerytalnym – pod warunkiem, że jest mężczyzną.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

zadanie 6 (0-3)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\neq y$ , spełniona jest nierówność

$x^4+y^4> xy\left ( x^2+y^2 \right )$

zadanie 7 (0-3)

Oblicz ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.

zadanie 8 (0-3)

Rozwiąż nierówność

$\frac{3x+1}{2x+1}\leq \frac{3x+4}{2x+3}$

zadanie 9 (0-3)

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ Przez punkt $O$ przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków $BC$ i $AD$ . Proste równoległa do boku $BC$ przecina bok $AB$ w punkcie ${B}'$ , a prosta równoległa do boku $AD$ przecina bok $AB$ w punkcie ${A}'$ . Wykaż, że $\left | A{A}' \right |=\left | B{B}' \right |$ .

zadanie 10 (0-4)

Dany jest nieskończony ciąg arytmetyczny $\left ( a_{n} \right )$ , określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ , którego iloraz $q$ jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek $\left | q \right |< 1$ . Stosunek sumy $S_{N}$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy $S_{P}$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. $\frac{S_{N}}{S_{P}}=S_{N}-S_{P}$ . Oblicz $q$ .

zadanie 11 (0-4)

Rozwiąż równanie $\cos \left ( 3x \right )+\sqrt{3}\sin \left ( 3x \right )+1=0$ w przedziale $\left [ 0,\pi \right ]$ .

zadanie 12 (0-5)

Podstawą graniastosłupa prostego $ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'$ jest trapez równoramienny wpisany w okrąg o środku $O$ i promieniu $R$ . Dłuższa podstawa $AB$ trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze $2\alpha$ (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ . Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia $R$ i miary kąta $\alpha$ .

zadanie 13 (0-6)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie

$\left ( x-4 \right )\left [ x^2+\left ( m-3 \right )x+m^2-m-6 \right ]=0$

ma trzy rozwiązania rzeczywiste $x_{1},x_{2}$ oraz $x_{3}$ , spełniające warunek

$x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}>x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-5m-51$

zadanie 14 (0-6)

Dane są okrąg $o_{1}$ o równaniu0 $\left ( x-6 \right )^{2}+\left ( y-4 \right )^{2}=98$ oraz okrąg $o_{2}$ o promieniu $2\sqrt{5}$ . Środki okręgów $o_{1}$ i $o_{2}$ leżą po różnych stronach prostej $k$ o równaniu $y=-3x-6$ , a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej $k$ . Wyznacz równanie okręgu $o_{2}$ .

zadanie 15 (0-7)

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne $ABC$ $\left ( \left | AC \right |=\left | BC \right | \right )$ , na których opisano okrąg o promieniu $R=1$ . Niech $x$ oznacza odległość środka okręgu od podstawy $AB$ trójkąta.

Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $x$ , wyraża się wzorem $P(x)=\left ( x+1 \right )\cdot \sqrt{1-x^2}$
Wyznacz dziedzinę funkcji $P$ .
Oblicz długość odcinka $x$ tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Was this helpful?

0 / 0