2022 maj rozszerzenie - Matma.com.pl

W każdym z zadań od 1. do 4. wybierz i zaznacz prawidłową odpowiedź.

zadanie 1 (0-1)

Liczba $\log _{3}\sqrt{27}-\log _{27}\sqrt{3}$ jest równa

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{11}{12}$

D. $3$

zadanie 2 (0-1)

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 2$ . Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu $x=\frac{1}{2}$ jest równa

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{9}{4}$

C. $3$

D. $\frac{54}{8}$

zadanie 3 (0-1)

Jeżeli $\cos \beta =-\frac{1}{3}$ i $\beta \in \left ( \pi ,\frac{3}{2}\pi \right )$ , to wartość wyrażenia $\sin \left ( \beta -\frac{1}{3}\pi \right )$ jest równa

A. $\frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$

C. $\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$

zadanie 4 (0-1)

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka to losujemy jedną kulę z pierwszej urny , w przeciwnym przypadku – jedna kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulkę białą w tym doświadczeniu, jest równe

A. $\frac{5}{14}$

B. $\frac{9}{14}$

C. $\frac{5}{7}$

D. $\frac{6}{7}$

zadanie 5 (0-2)

Ciąg $\left ( a_{n} \right )$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ wzorem $a_{n}=\frac{\left ( 7p-1 \right )n^3+5pn-3}{\left ( p+1 \right )n^3+n^2+p}$ , gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość $p$ , dla której granica ciągu $\left ( a_{n} \right )$ jest równa $\frac{4}{3}$ .

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, druga oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

zadanie 6 (0-3)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $2x> y$ , spełniona jest nierówność

$7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3$

zadanie 7 (0-3)

Rozwiąż równanie

$\left | x-3 \right |=2x+11$

zadanie 8 (0-3)

Punkt $P$ jest punktem przecięcia przekątnych trapezu $ABCD$ . Długość podstawy $CD$ jest o $2$ mniejsza od długości podstawy $AB$ . Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $CPD$ jest o $3$ mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie $APB$ .

Wykaż, że spełniony jest warunek $\left | DP \right |^2+\left | CP \right |^2-\left | CD \right |^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot\left | DP \right |\cdot \left | CP \right |$ .

zadanie 9 (0-4)

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=4x^3-6x^2-\left ( 5m+1 \right )x-2m$ przez dwumian $x+2$ jest równa $\left ( -30 \right )$ .

Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x)\geq 0$ .

zadanie 10 (0-4)

Ciąg $\left ( a_{n} \right )$ , określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ , jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto $a_{1}=675$ i $a_{22}=\frac{5}{4}a_{3}+\frac{1}{5}a_{21}$ .

Ciąg $\left ( b_{n} \right )$ , określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ , jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów ciągu $\left ( a_{n} \right )$ jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $\left ( b_{n} \right )$ . Ponadto $a_{3}=b_{4}$ . Oblicz $b_{1}$ .

zadanie 11 (0-4)

Rozwiąż równanie $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$ w przedziale $\left [ 0,\pi \right ]$ .

zadanie 12 (0-5)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ dla których równanie

$x^2-\left ( m+1 \right )x+m=0$

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ oraz $x_{2}$ , spełniające warunki

$x_{1}\neq 0$ , $x_{2}\neq 0$ oraz $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+2=\frac{1}{x_{1}^2}+\frac{1}{x_{2}^2}$

zadanie 13 (0-5)

Dany jest graniastosłup prosty $ABCDEFGH$ o podstawie prostokątnej $ABCD$ . Przekątne $AH$ i $AF$ ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze $\alpha$ takiej, że $\sin \alpha =\frac{12}{13}$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $AFH$ jest równe $26,4$ . Oblicz wysokość $h$ tego graniastosłupa.

zadanie 14 (0-6)

Punkt $A=(-3,2)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$ , w którym $\left | AC \right |=\left | BC \right |$ . Pole tego trójkąta jest równe $15$ . Bok $BC$ zawarty jest w prostej o równaniu $y=x-1$ . Oblicz współrzędne $B$ i $C$ tego trójkąta.

zadanie 15 (0-7)

rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym $18$ .

Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $b$ ramienia wyraża się wzorem $P\left ( b \right )=\frac{\left ( 18-2b \right )\cdot \sqrt{18b-81}}{2}$ .
Wyznacz dziedzinę funkcji $P$ .
Oblicz długość boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Was this helpful?

0 / 0