zadanie 4 (0-2) zbiór podstawa

Naszym zadaniem jest dowieść że liczba $a$ jest liczbą całkowitą.

Usuńmy niewymierności w mianownikach i dodajmy ułamki

$a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$

$a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+2}\cdot \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}$

Aby obliczy mianowniki zastosujemy wzór skróconego mnożenia ${\color{Orchid} \left ( x-y \right )\left ( x+y \right )=x^2-y^2}$

$a=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}$

$a=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{\sqrt{3}-2}{-1}$

$a=\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-2}{-1}$

$a=\frac{-1}{-1}=1$

Ostatecznie udowodniliśmy że $a=1$ . Zatem $a$ jest liczbą całkowitą. Co kończy dowód.

Was this helpful?

0 / 0