zadanie 31 (0-2) zbiór podstawa

Ciąg jest arytmetyczny $\left ( a_{n} \right )$ , określony dla $n\geq 1$ i jego różnica $r=4$ .

Wiemy ponadto, że suma jego pierwszych pięciu wyrazów:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$

jest trzy razy mniejsza od sumy kolejnych pięciu wyrazów:

$a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}$

Możemy zatem zapisać równanie

$3\cdot \left (a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} \right )=a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}$

Korzystając z wzoru na $n-$ ty wyraz ciągu arytmetycznego

${\color{Orchid} a_{n}=a_{1}+\left ( n-1 \right )r}$

Możemy każdy z naszych wyrazów zapisać

$a_{1}$

$a_{2}=a_{1}+r=a_{1}+4$

$a_{3}=a_{1}+2r=a_{1}+2\cdot 4=a_{1}+8$

$a_{4}=a_{1}+3r=a_{1}+3\cdot 4=a_{1}+12$

$a_{5}=a_{1}+4r=a_{1}+4\cdot 4=a_{1}+16$

$a_{6}=a_{1}+5r=a_{1}+5\cdot 4=a_{1}+20$

$a_{7}=a_{1}+6r=a_{1}+6\cdot 4=a_{1}+24$

$a_{8}=a_{1}+7r=a_{1}+7\cdot 4=a_{1}+28$

$a_{9}=a_{1}+8r=a_{1}+8\cdot 4=a_{1}+32$

$a_{10}=a_{1}+9r=a_{1}+9\cdot 4=a_{1}+36$

Wstawmy teraz powyższe wiadomości do naszego równania:

$3\cdot \left (a_{1}+a_{1}+4+a_{1}+8+a_{1}+12+a_{1}+16 \right )=$

$=a_{1}+20+a_{1}+24+a_{1}+28+a_{1}+32+a_{1}+36$

$3\left ( 5a_{1}+40 \right )=5a_{1}+140$

$15a_{1}+120=5a_{1}+140$

$10a_{1}=20\; /:2$

$a_{1}=2$

Pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego $\left ( a_{n} \right )$ jest $a_{1}=2$ .

Was this helpful?

0 / 0

Dodaj komentarz 0