zadanie 32 (0-3) zbiór podstawa

Z treści zadania wiemy, że

$q=\frac{1}{3}$

$a_{3}=\frac{1}{9}$

$S_{n}=\frac{364}{243}$

Aby obliczyć pierwszy wyraz wyraz ciągu posłużymy się wzorem na $n-$ ty wyraz ciągu geometrycznego

${\color{Orchid} a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}$

Zatem

$a_{3}=a_{1}\cdot q^2$

$\frac{1}{9}=a_{1}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^2$

$\frac{1}{9}=a_{1}\cdot \frac{1}{9}$

$a_{1}=1$

Kolejnym etapem będzie zastosowanie wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

${\color{Orchid} S_{n}=a_{1}\cdot \frac{1-q^n}{1-q}}$

Podstawiamy nasze dane

$\frac{264}{243}=1\cdot \frac{1-\left ( \frac{1}{3} \right )^n}{1-\frac{1}{3}}$

$\frac{264}{243}=\frac{1-\left ( \frac{1}{3} \right )^n}{\frac{2}{3}}\; \; /\cdot \frac{2}{3}$

$\frac{728}{729}=1-\left ( \frac{1}{3} \right )^n$

$\left ( \frac{1}{3} \right )^n=1-\frac{728}{729}$

$\left ( \frac{1}{3} \right )^n=\frac{1}{729}$

$\left ( 3 \right )^{-n}=\left ( 3 \right )^{-6}$

Zatem możemy zapisać

$-n=-6$

$n=6$

Nasz ciąg geometryczny składa się z sześciu wyrazów.

Was this helpful?

0 / 0