zadanie 33 (0-4) zbiór podstawa

Z treści zadania wiemy, że ( $x,y,z$ ) – ciąg geometryczny oraz suma tych wyrazów równa się $114$

(1) $x+y+z=114$

To oznacza że spełnia zależność

(2) $y^2=x\cdot z$

Oraz ( $x=a_{1}$ , $y=a_{4}$ , $z=a_{25}$ ) – ciąg arytmetyczny

Czyli możemy zapisać sumę naszych wyrazów w postaci sumy odpowiednich wyrazów ciągu arytmetycznego

(1) $a_{1}+a_{4}+a_{25}=114$ $\Rightarrow$ $a_{1}+a_{1}+3r+a_{1}+24r=114$ $\Rightarrow$ $3a_{1}+27r=114$

(2) $a_{4}^{2}=a_{1}\cdot a_{25}$ $\Rightarrow$ $\left (a_{1}+3r \right )^2=a_{1}\cdot \left ( a_{1}+24r \right )$

Oba równania tworzą układ równań

$\left\{\begin{matrix} a_{1}+a_{4}+a_{25}=114\\a_{4}^{2}=a_{1}\cdot a_{25} \end{matrix}\right.\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \left\{\begin{matrix}3a_{1}+27r=114\; \; /:3 \\ \left (a_{1}+3r \right )^2=a_{1}\cdot \left ( a_{1}+24r \right )\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}a_{1}+9r=38\; \; \\ \left (a_{1}+3r \right )^2=a_{1}\cdot \left ( a_{1}+24r \right )\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}a_{1}=38-9r\; \; \\ \left (38-9r+3r \right )^2=\left ( 38-9r \right )\cdot \left ( 38-9r+24r \right )\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}a_{1}=38-9r\; \; \\ \left (38-6r \right )^2=\left ( 38-9r \right )\cdot \left ( 38+15r \right )\end{matrix}\right.$

Zajmijmy się drugim teraz równaniem

$\left (38-6r \right )^2=\left ( 38-9r \right )\cdot \left ( 38+15r \right )$

$1444-456r+36r^2=1444-342r+570r-135r^2$

$171r^2-684r=0$

$171r\left ( r-4 \right )=0$

$r=0\; \; \vee r=4$

Dla $r=0$

$a_{1}=38$

Nasz ciąg ma postać $\left ( x,y,z \right )=\left ( a_{1},a_{4},a_{25} \right )=\left ( 38,38,38 \right )$ – jest to ciąg stały

Dla $r=4$

$a_{1}=38-4\cdot 9=38-36=2$

Nasz ciąg ma postać $\left ( x,y,z \right )=\left ( a_{1},a_{4},a_{25} \right )=\left ( 2,2+4\cdot 3, 2+4\cdot 24\right )=\left ( 2,14, 98\right )$

Mamy zatem dwa rozwiązania

$\left ( 38,38,38 \right )$ oraz $\left ( 2,14,98 \right )$

Was this helpful?

0 / 0

Dodaj komentarz 0