zadanie 34 (0-4) zbiór podstawa

Posłużymy się oznaczeniem

$\left ( x,y,z \right )$ – ciąg arytmetyczny. Zatem

$x=a_{1}$

$y=a_{1}+r$

$z=a_{1}+2r$

Ciąg arytmetyczny można zapisać w postaci $\left ( a_{1} ,a_{1}+r,a_{1}+2r\right )$

Z treści zadania wiemy że suma liczb ciągu arytmetycznego jest równa $24$

$a_{1} +a_{1}+r+a_{1}+2r=24$

$3a_{1}+3r=24\; \; /:3$

(1) $a_{1}+r=8$

$\left ( x+4,y+10,z+40 \right )$ – ciąg geometryczny, który dalej możemy zapisać w postaci $\left ( a_{1}+4 ,a_{1}+r+10,a_{1}+2r+40\right )$ . Ciąg geometryczny spełnia zależność

(2) $\left ( a_{1}+r+10 \right )^2=\left ( a_{1} +4\right )\left ( a_{1} +2r+40\right )$

Możemy ułożyć układ równań:

$\left\{\begin{matrix} a_{1}+r=8\\\left ( a_{1}+r+10 \right )^2=\left ( a_{1} +4\right )\left ( a_{1} +2r+40\right ) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a_{1}+r=8\\\left ( 8+10 \right )^2=\left ( a_{1} +4\right )\left ( 8+r+40\right ) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a_{1}=8-r\\\left ( 18 \right )^2=\left ( a_{1} +4\right )\left ( 48+r\right ) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a_{1}=8-r\\324=\left ( 8-r +4\right )\left ( 48+r\right ) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a_{1}=8-r\\324=\left ( 12-r\right )\left ( 48+r\right ) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a_{1}=8-r\\324=576-48r+12r-r^2\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a_{1}=8-r\\r^2+36r-252=0 \end{matrix}\right.$

Zajmijmy się drugim równaniem

$r^2+36r-252=0$

$\Delta =1296-4\cdot 1\cdot \left ( -252 \right )=1296+1008=2304$

$\sqrt{\Delta }=48$

$r_{1}=\frac{-36-48}{2}=\frac{-84}{2}=-42$

$r_{1}=\frac{-36+48}{2}=\frac{12}{2}=6$

Dla $r=-42$

$a_{1}=8-\left ( -42 \right )=8+42=50$

Nasz ciąg arytmetyczny ma postać $\left ( 50,50+\left (-42 \right ),50+2\cdot \left ( -42 \right ) \right )=\left ( 50,8,-34 \right )$

Dla $r=6$

$a_{1}=8-6=2$

Nasz ciąg arytmetyczny ma postać $\left ( 2, 2+6,2+2\cdot 6\right )=\left ( 2,8,14 \right )$

Rozwiązaniem naszego zadania są dwa ciągi

$\left ( 50,8,-34 \right )$ oraz $\left ( 2,8,14 \right )$

Was this helpful?

0 / 0