zadanie 3 (0-2) zbiór rozszerzenie

Przekształćmy nasze równanie:

$2a^2+a=3b^2+b$

$2a^2-3b^2+a-b=0\; \; /+a^2$

$a^2+a^2+a^2-b^2-b^2-b^2+a-b=a^2$

$a^2=3a^2-3b^2+a-b$

$a^2=3\left ( a^2-b^2 \right )+\left ( a-b \right )$

$a^2=3\left ( a-b\right )\left ( a+b \right )+\left ( a-b \right )$

$a^2=\left ( a-b \right )\left ( 3a+3b+1 \right )$

Skoro $\left ( a-b \right )$ jest dzielnikiem liczby $5$ to możemy zapisać:

$\left ( a-b \right )=5k$ dla $k\in \mathbb{Z}$

Zatem $a^2=5k\left ( 3a+3b+1 \right )$

Czyli $5$ jest również dzielnikiem liczby $a^2$ .

A skoro $5$ jest liczba pierwszą to jest ona również dzielnikiem liczby $a$ . Oznacza to, że $5^2$ jest dzielnikiem liczby $a^2$ .

Zatem jeśli $5$ jest dzielnikiem $\left ( a-b \right )$ oraz jest dzielnikiem liczby $a$ to musi być również dzielnikiem liczby $b$ (czyli $5^2$ jest dzielnikiem liczby $b^2$ ) oraz dzielnikiem sumy liczb $\left ( a+b \right )$ .

Oznacza to, że liczba $\left ( 3a+3b+1 \right )$ przy dzieleniu przez $5$ daje nam resztę $1$ . Czyli $5$ nie jest dzielnikiem liczby $\left ( 3a+3b+1 \right )$ .

Wracając do równania podanego w treści zadania możemy zapisać

$a-b=3b^2-2a^2$

Wiemy już, że $5^2$ jest dzielnikiem liczby $a^2$ oraz $5^2$ jest dzielnikiem liczby $b^2$ .

Zatem $5^2=25$ jest dzielnikiem liczby $3b^2-2a^2$

Ostatecznie $25$ jest dzielnikiem liczby $a-b$ .

Co kończy dowód

Was this helpful?

0 / 0

Dodaj komentarz 0