zadanie 4 (0-2) zbiór rozszerzenie

Naszą liczbę $a$ możemy zapisać:

$a=1+10+10^2+10^3+...+10^{n-1}$

I tak dla

$n=5$ (pierwsza) mamy $11111$ (złożona $41\cdot 271$ )

$n=6$ (złożona) mamy $111111$ (złożona)

$n=7$ (pierwsza)mamy $1111111$ (złożona)

$n=8$ (złożona) mamy $11111111$ (złożona)

i tak dalej…

Widzimy, że jeśli na przykład dla liczby pierwszej $n=5$ liczba $a$ wcale nie jest pierwsza. Dlatego posłużymy się dowodem nie wprost, który doprowadzi nas do sprzeczności.

Dowód nie wprost:

Załóżmy, że $n$ jest liczba złożoną.

Zatem możemy ją zapisać jako iloczyn dwóch liczb całkowitych:

$n=p\cdot q$ dla $p,q\in \mathbb{N}$

Weźmy teraz dowolna liczbę całkowitą $z$ , która składa się z samych jedynek ( $p$ jedynek)

$z=1+10+10^2+10^3+...+10^{p-1}$

Wracając do naszej liczby $a$ możemy zapisać

$a=1...11\; 1...11\;...\; 1...11$

Widzimy, że $a$ składa się wielu grup w każdej mamy po $p$ jedynek.

Możemy zatem zapisać, że $a$ składa się z $q$ grup po $p$ jedynek, czyli z $q$ grup liczb $z$

$\begin{matrix}a= \underbrace{zz...zzz}\\ \; \; \; \;\; \; q\end{matrix}$

Otrzymujemy liczbę, która jest iloczynem liczby składającej się z samych jedynek czyli $z$ oraz liczby składającej się z $q$ jedynek i $(p-1)$ zer. Możemy zapisać dalej:

$a=z\left (1+10^p+10^{2p}+10^{3p}+...+10^{p\left ( q-1 \right )}\right )$

czyli $a$ ma dwa dzielniki naturalne, i nie jest to $1$ to oznacza, że jest ona liczbą złożoną.

Dochodzimy do sprzeczności.

Co należało pokazać.

Was this helpful?

4 / 1

Dodaj komentarz 0