zadanie 5 (0-4) zbiór rozszerzenie

Skoro suma liczb $x$ i $y$ jest podzielna przez $3$ możemy zapisać:

$x+y=3p$ dla $p\in \mathbb{Z}$

Obliczmy teraz sumę sześcianów liczb $x$ i $y$

$x^3+y^3$

$=\left ( x+y \right )\left ( \left ( x+y \right )^2-3xy \right )$

Podstawmy teraz $x+y=3p$

$\left ( x+y \right )\left ( \left ( x+y \right )^2-3xy \right )=3p\left ( \left ( 3p \right )^2-3xy \right )=3p\left ( 9p^2-3xy \right )=$

$=3p\cdot 3\left ( 3p^2-xy \right )=9p\left ( 3p^2-xy \right )$

Wiemy, że $p\in \mathbb{Z}$ zatem $9p\in \mathbb{Z}$ oraz $3p^2\in \mathbb{Z}$ . Wiemy także, że $x,y\in \mathbb{Z}$ więc $x\cdot y\in \mathbb{Z}$ .

Różnica liczb całkowitych też jest liczba całkowitą.

Zatem $9p\left ( 3p^2-xy \right )\in \mathbb{Z}$ i jest to iloczyn $9$ i liczby całkowitej $p\left ( 3p^2-xy \right )$

Czyli możemy zapisać $9k$ gdzie $k=p\left ( 3p^2-xy \right )\in \mathbb{Z}$ .

Ostatecznie $x^3+y^3$ można zapisać jako $9k$ gdzie $k=p\left ( 3p^2-xy \right )\in \mathbb{Z}$ czyli jest to suma podzielna przez 9.

Co należało pokazać.

Was this helpful?

0 / 0