zadanie 6 (0-3) zbiór rozszerzenie

Rozpiszmy nasze wyrażenie stosując wzór z dwumianu Newtona

${\color{Orchid} \left ( a+b \right )^n=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+...+}$

${\color{Orchid} +...+\binom{n}{n-2}a^2b^{n-2}+\binom{n}{n-1}a^1b^{n-1}\binom{n}{x}a^0b^n}$

Współczynnik wyrazie $a^{n-2}b^2$ to $\binom{n}{2}$

Współczynnik wyrazie $a^{n-1}b$ to $\binom{n}{1}$

Suma obu współczynników jest równa $66$ . Zatem:

$\binom{n}{2}+\binom{n}{1}=66$

Posłużymy się teraz wzorem na symbol Newtona

${\color{Orchid} \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left ( n-k \right )!}}$

$\frac{n!}{2!\left ( n-2 \right )!}+\frac{n!}{1!\left ( n-1 \right )!}=66$

$\frac{\left ( n-2 \right )!\left ( n-1 \right )n}{1\cdot 2\left ( n-2 \right )!}+\frac{\left ( n-1 \right )!n}{1\cdot \left ( n-1 \right )!}=66$

$\frac{\left ( n-1 \right )n}{ 2}+\frac{n}{1}=66\; \; /\cdot 2$

$n^2-n+2n=132$

$n^2+n-132=0$

$\Delta =1-4\cdot 1\cdot \left ( -132 \right )=1+528=529$

$\sqrt{\Delta }=23$

$n_{1}=\frac{-1-23}{2\cdot 1}=\frac{-24}{2}=-12$

$n_{1}=\frac{-1+23}{2\cdot 1}=\frac{22}{2}=11$

Pamiętamy, że $n\in \mathbb{N}$ więc jedynym rozwiązaniem jest $n=11$

Was this helpful?

0 / 0

Dodaj komentarz 0