zadanie 7 (0-3) zbiór rozszerzenie

Dla $a,b,c \in \mathbb{Z}$ mamy:

$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{6}=0$

Dowód nie wprost:

Niech $a,b,c\in \mathbb{Z}/{0}$

$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3}-c\sqrt{6}$

$a\sqrt{2}=-\sqrt{3}\left ( b+c\sqrt{2} \right )\; \; /^{2}$

$2a^2=3\left ( b^2+2bc\sqrt{2}+2c^2 \right )$

$2a^2=3b^2+6bc\sqrt{2}+6c^2$

$2a^2-3b^2-6c^2=6bc\sqrt{2}$

$6bc\sqrt{2}=2a^2-3b^2-6c^2\; \; /:6bc$

$\sqrt{2}=\frac{2a^2-3b^2-6c^2}{6bc}$

Wiemy, że $\sqrt{2}$ jest liczbą niewymierną.

Zajmijmy się prawą stroną naszego równania:
Założyliśmy, że $a,b,c\in \mathbb{Z}/{0}$ więc $2a^2$ jest liczbą całkowitą, $3b^2$ jest liczba całkowitą, $6c^2$ jest liczba całkowitą oraz $6bc$ jest liczbą całkowitą. Zatem $2a^2-3b^2-6c^2$ jest liczba całkowitą więc $\frac{2a^2-3b^2-6c^2}{6bc}$ również jest liczba wymierną.

Dochodzimy do sprzeczności ponieważ $\sqrt{2}$ nie jest liczba wymierną.

Oznacza to, że jedna z liczb $b$ lub $c$ może być zerem. Mamy wówczas:

$b=0$

$a\sqrt{2}+0\sqrt{3}+c\sqrt{6}=0$

$a\sqrt{2}+c\sqrt{6}=0\; \; /:\sqrt{2}$

$a+c\sqrt{3}=0$

$c\sqrt{3}=-a\; \; /:c$

$\sqrt{3}=-\frac{a}{c}$

Znowu dochodzimy do sprzeczności ponieważ $-\frac{a}{c}$ jest liczba wymierną a $\sqrt{3}$ jest liczba niewymierną.

Oznacza to, że $c$ musi być równe $0$ . Mamy wtedy:

$a\sqrt{2}+0\sqrt{3}+0\sqrt{6}=0$

$a\sqrt{2}=0$

$a=0$

Czyli $b=0$ , $c=0$ i $a=0$

Zajmijmy się drugim przypadkiem

$c=0$

$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+0\sqrt{6}=0$

$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=0\$

$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3}$

$-b\sqrt{3}=a\sqrt{2}\; \; /\cdot \sqrt{2}$

$-b\sqrt{6}=2a\; \; /:\left ( -b \right )$

$\sqrt{6}=-\frac{2a}{b}$

Znowu dochodzimy do sprzeczności ponieważ $-\frac{2a}{b}$ jest liczba wymierną a $\sqrt{6}$ jest liczba niewymierną.

Oznacza to, że $b=0$ musi być równe $0$ . Mamy wtedy:

$a\sqrt{2}+0\sqrt{3}+0\sqrt{6}=0$

$a\sqrt{2}=0$

$a=0$

Czyli $b=0$ , $c=0$ i $a=0$

Ostatecznie:

Jeśli $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{6}=0$ to $a=b=c=0$

Co należało pokazać.

Was this helpful?

0 / 0

Dodaj komentarz 0