zadanie 8 (0-3) zbiór rozszerzenie

$a=\left ( \sqrt{5}+2 \right )^{2022}+\left ( \sqrt{5}-2 \right )^{2022}$

Posłużymy się wzorem dwumianu Newtona:

${\color{Orchid} \left ( a+b \right )^n=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+...+}$

${\color{Orchid} +...+\binom{n}{n-2}a^2b^{n-2}+\binom{n}{n-1}a^1b^{n-1}\binom{n}{x}a^0b^n}$

$\left ( \sqrt{5} +2\right )^{2022}=\binom{2022}{0}\sqrt{5}^{2022}2^0+\binom{2022}{1}\sqrt{5}^{2021}2^1+\binom{2022}{2}\sqrt{5}^{2020}2^2+$

$+...+\binom{2022}{2020}\sqrt{5}^22^{2020}+\binom{2022}{2021}\sqrt{5}\cdot 2^{2021}+\binom{2022}{2022}\sqrt{5}^0\cdot 2^{2022}$

$\left ( \sqrt{5} -2\right )^{2022}=\left ( \sqrt{5} +\left (-2 \right )\right )^{2022}$

$\left ( \sqrt{5}+ \left (-2 \right )\right )^{2022}=\binom{2022}{0}\sqrt{5}^{2022}\left (-2 \right )^0+\binom{2022}{1}\sqrt{5}^{2021}\left (-2 \right )^1+\binom{2022}{2}\sqrt{5}^{2020}\left (-2 \right )^2+$

$+...+\binom{2022}{2020}\sqrt{5}^2\left ( -2 \right )^{2020}+\binom{2022}{2021}\sqrt{5}\cdot \left ( -2 \right )^{2021}+\binom{2022}{2022}\sqrt{5}^0\cdot \left ( -2 \right )^{2022}=$

$=\binom{2022}{0}\sqrt{5}^{2022}2^0-\binom{2022}{1}\sqrt{5}^{2021}2^1+\binom{2022}{2}\sqrt{5}^{2020}2^2-$

$-...+\binom{2022}{2020}\sqrt{5}^22^{2020}-\binom{2022}{2021}\sqrt{5}\cdot 2^{2021}+\binom{2022}{2022}\sqrt{5}^0\cdot 2^{2022}$

Wróćmy do $a$

$a=\left ( \sqrt{5}+2 \right )^{2022}+\left ( \sqrt{5}-2 \right )^{2022}=\binom{2022}{0}\sqrt{5}^{2022}2^0+\cancel{\binom{2022}{1}\sqrt{5}^{2021}2^1}+$

$+\binom{2022}{2}\sqrt{5}^{2020}2^2+...+\binom{2022}{2020}\sqrt{5}^22^{2020}+\cancel{\binom{2022}{2021}\sqrt{5}\cdot 2^{2021}}+$

$+\binom{2022}{2022}\sqrt{5}^0\cdot 2^{2022}+\binom{2022}{0}\sqrt{5}^{2022}2^0-\cancel{\binom{2022}{1}\sqrt{5}^{2021}2^1}+\binom{2022}{2}\sqrt{5}^{2020}2^2-$

$-...+\binom{2022}{2020}\sqrt{5}^22^{2020}-\cancel{\binom{2022}{2021}\sqrt{5}\cdot 2^{2021}}+\binom{2022}{2022}\sqrt{5}^0\cdot 2^{2022}$

Widzimy, że każde wyrazy z nieparzystymi potęgami (zarówno przy $\sqrt{5}$ jak i przy $2$ ) się zredukują. Pozostanie nam:

$a=\binom{2022}{0}\sqrt{5}^{2022}2^0+\binom{2022}{2}\sqrt{5}^{2020}2^2+...+\binom{2022}{2020}\sqrt{5}^{2}2^{2020}+\binom{2022}{2022}\sqrt{5}^02^{2022}+$

$+\binom{2022}{0}\sqrt{5}^{2022}+\binom{2022}{2}\sqrt{5}^{2020}2^2+...+\binom{2022}{2020}\sqrt{5}^22^{2020}+\binom{2022}{2022}\sqrt{5}^02^{2022}$

Możemy zauważyć, że pozostały nam dwa takie same wyrazy przy $\binom{2022}{0}$ oraz dwa takie same wyrazy przy $\binom{2022}{2},...\; ,\binom{2022}{2020}$ oraz $\binom{2022}{2022}$ . Uporządkujmy nasze wyrażenie