zadanie 10 (0-5) zbiór rozszerzenie

$x+4+\frac{8}{x-4}\geq \frac{-2x-8}{x^2-16}$

Aby zacząć rozwiązywać nierówność zacznijmy od ustalenia dziedziny:

$D: x-4\neq 0\; \; \wedge \; \; x^2-16\neq 0$

$D: x\neq 4\; \; \wedge\; \; \left (x-4 \right )\left ( x+4 \right )\neq 0$

$D: x\neq 4\; \; \wedge\; \; \left (x-4 \right )\neq 0\; \; \wedge \; \; \left ( x+4 \right )\neq 0$

$D: x\neq 4\; \; \wedge\; \; x\neq 4\; \; \wedge \; \; x\neq -4$

$D: x\in \mathbb{R}-\left \{ -4,4\right \}$

Przejdźmy teraz do rozwiązania naszej nierówności:

$x+4+\frac{8}{x-4}\geq \frac{-2x-8}{x^2-16}$

$x+4+\frac{8}{x-4}-\frac{-2x-8}{x^2-16}\geq 0$

$\frac{\left ( x+4 \right )\left ( x^2-16 \right )}{x^2-16}+\frac{8\left ( x+4 \right )}{\left (x-4 \right )\left ( x+4 \right )}-\frac{-2x-8}{x^2-16}\geq 0$

$\frac{x^3+4x^2-16x-64}{x^2-16}+\frac{8x+32}{x^2-16}-\frac{-2x-8}{x^2-16}\geq 0$

$\frac{x^3+4x^2-16x-64+8x+32+2x+8}{x^2-16}\geq 0$

$\frac{x^3+4x^2-6x-25}{x^2-16}\geq 0\; \; /\cdot \left ( x^2-16 \right )^2>0$

$\left ( x^3+4x^2-6x-24 \right )\left ( x^2-16 \right )\geq 0$

$\left ( x^2\left ( x+4 \right )-6\left ( x+4 \right ) \right )\left ( x^2-16 \right )\geq 0$

$\left ( x+4 \right )\left ( x^2-6 \right )\left ( x^2-16 \right )\geq 0$

$\left ( x+4 \right )\left ( x+\sqrt{6} \right )\left ( x-\sqrt{6} \right )\left ( x+4 \right )\left ( x-4 \right )\geq 0$

$\left ( x+\sqrt{6} \right )\left ( x-\sqrt{6} \right )\left ( x+4 \right )^2\left ( x-4 \right )\geq 0$

Zróbmy rysunek podglądowy

$\left ( x+\sqrt{6} \right )\left ( x-\sqrt{6} \right )\left ( x+4 \right )^2\left ( x-4 \right )\geq 0$

$x\in \left \{ -4 \right \}\cup \left [ -\sqrt{6},\sqrt{6} \right ]\cup \left [ 4,+\infty \right )$

Ostatecznie po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x\in \left [ -\sqrt{6},\sqrt{6} \right ]\cup \left ( 4,+\infty \right )$

Was this helpful?

0 / 0