zadanie 12 (0-2) zbiór rozszerzenie

Dla $n\in \mathbb{N}$ wykażemy prawdziwość nierówności

$2\left ( \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} \right )< \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ i $\frac{1}{\sqrt{n+1}}< 2\left ( \sqrt{n+1} -\sqrt{n}\right )$

$2\left ( \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} \right )\cdot \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left ( n+2-\left ( n+1 \right ) \right )}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left ( n+2-n-1 \right )}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=$

$=\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}< \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}=\frac{2}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Zatem pierwsza nierówność została udowodniona. Zajmijmy się drugą nierównością:

$2\left ( \sqrt{n+1} -\sqrt{n}\right )\cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2\left ( n+1-n \right )}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=$

$=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}> \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}=\frac{2}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Zatem została udowodniona nierówność druga.

Was this helpful?

0 / 0