zadanie 13 (0-3) zbiór rozszerzenie

$\left\{\begin{matrix} x^2-2x+y^2=24\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: \: \: \\x^2-10x+y^2-8y+40=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x^2-2x+1-1+y^2=24 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ x^2-10x+25-25+y^2-8y+16-16+40=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}\left (x-1 \right )^2+y^2=25\; \; \; \; \; \; \; \\ \left ( x-5 \right )^2+\left ( y-4 \right )^2=1 \end{matrix}\right.$

$\left ( x-1 \right )^2+y^2=25$ jest to równanie okręgu o środku w punkcie $\left ( 1,0 \right )$ i promieniu $r=\sqrt{25}=5$

$\left ( x-5 \right )^2+\left ( y-4 \right )^2=1$ jest to równanie okręgu o środku w punkcie $\left ( 5,4 \right )$ i promieniu $r=\sqrt{1}=1$

Zróbmy rysunek

Widzimy, ze okręgi przecinają się w punktach $\left ( 5,3 \right )$ i $\left ( 4,4 \right )$

Sprawdzamy czy nasze punkty spełniają układ równań $\left\{\begin{matrix} x^2-2x+y^2=24\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: \: \: \\x^2-10x+y^2-8y+40=0 \end{matrix}\right.$

Dla $\left ( 5,3 \right )$ mamy:

$\left\{\begin{matrix} 5^2-2\cdot 5+3^2=25-10+9=24\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\5^2-10\cdot 5+3^2-8\cdot 3+40=25-50+9-24+40=0 \end{matrix}\right.$

Dla $\left ( 4,4 \right )$ mamy:

$\left\{\begin{matrix} 4^2-2\cdot 4+4^2=16-8+16=24\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: \: \: \\4^2-10\cdot 4+4^2-8\cdot 4+40=16-40+16-32+40=0 \end{matrix}\right.$

Zatem rozwiązaniem układu równań jest:

$\left\{\begin{matrix} x=5\\ y=3 \end{matrix}\right.$ lub $\left\{\begin{matrix} x=4\\ y=4 \end{matrix}\right.$

Was this helpful?

0 / 0