zadanie 16 (0-5) zbiór rozszerzenie

$\left ( a_{n} \right )$ – ciąg arytmetyczny i $n\geq 1$ możemy zapisać $\left ( a_{1},a_{2} ,a_{3},...,a_{n}\right )$

$\left ( a_{1}\cdot a_{2} ,a_{2}\cdot a_{3},a_{1}\cdot a_{3}\right )$ – ciąg geometryczny.

Zatem możemy napisać:

$\left ( a_{2}\cdot a_{3} \right )^2=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{1}\cdot a_{3}$

$a_{2}^{2}\cdot a_{3}^{2}=a_{1}^2\cdot a_{2}\cdot a_{3}\; \; /:a_{2}a_{3}\neq 0$

$a_{2}\cdot a_{3}=a_{1}^2$

$a_{1}^{2}=a_{2}\cdot a_{3}$

Dalej skorzystamy z tego, że $\left ( a_{n} \right )$ to ciąg arytmetyczny

$a_{2}=a_{1}+r$

$a_{3}=a_{1}+2r$

$a_{1}^{2}=\left ( a_{1} +r\right )\left ( a_{1}+2r \right )$

$a_{1}^{2}=a_{1}^{2}+a_{1}r+2a_{1}r+2r^2$

$3a_{1}r+2r^2=0$

$r\left ( 3a_{1} +2r\right )=0$

$r=0\; \; \vee \; \; 2r=-3a_{1}\; \; /:2$

$r=0\; \; \vee \; \; r=-\frac{3}{2}a_{1}$

Ciąg arytmetyczny jest rosnący zatem $r> 0\; \; \Rightarrow \; \; r=-\frac{3}{2}a_{}$

Mamy wtedy

$a_{2}=a_{1}-\frac{3}{2}a_{1}$

$a_{2}=-\frac{1}{2}a_{1}$

$a_{3}=a_{1}+2\cdot \left (- \frac{3}{2}a_{1} \right )$

$a_{3}=a_{1}-3a_{1}$

$a_{3}=-2a_{1}$

Wracając do naszego ciągu geometrycznego mamy:

$\left ( a_{1}\cdot a_{2} ,a_{2}\cdot a_{3},a_{1}\cdot a_{3}\right )=\left ( a_{1} \cdot \left ( -\frac{1}{2}a_{1} \right ), -\frac{1}{2}a_{1}\cdot \left ( -2a_{1} \right ), a_{1}\cdot \left ( -2a_{1} \right )\right )$

$\left ( -\frac{1}{2}a_{1}^{2},a_{1}^{2},-2a_{1}^{2} \right )$

Znajdźmy teraz szukany iloraz ciągu geometrycznego

$q=\frac{a_{1}^{2}}{-\frac{1}{2}a_{1}^{2}}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2$

Was this helpful?

0 / 0

Dodaj komentarz 0