zadanie 17 (0-2) zbiór rozszerzenie

Mamy dwie proste $l_{1}$ oraz $l_{2}$

$l_{1}:y=\frac{2}{3}x+b$

$l_{2}:y= ax+c$

Znajdziemy prosta prostopadłą $k$ do $l_{1}$ następnie będziemy szukać punktu, który jest równoodległy od prostej $k$ oraz $l_{1}$ i przez ten punkt poprowadzimy prostą $l_{2}$ . Będzie ona wtedy pod kątem $45^\circ$ .

$k:y=-\frac{3}{2}x+d$

Teraz odległość punktu równoodległego korzystając ze wzoru:

Odległość punktu ${\color{Orchid} P\left ( x_{0},y_{0} \right )}$ od prostej ${\color{Orchid} k}$ zapisanej w postaci ogólnej ${\color{Orchid} Ax_{0}+By_{0}+C=0}$ możemy obliczyć korzystając z wzoru

${\color{Orchid} d=\frac{\left | Ax_{0}+By_{0} +C\right |}{\sqrt{A^2+B^2}}}$

Mamy zatem

$k:\frac{3}{2}x+y-d$

$d=\frac{\left |\frac{3}{2}x_{0}+y_{0}-d \right |}{\sqrt{\left ( \frac{3}{2} \right )^2+1^2}}$

$l_{1}:\frac{2}{3}x-y+b$

$d=\frac{\left |\frac{2}{3}x_{0}-y_{0}+b \right |}{\sqrt{\left ( \frac{2}{3} \right )^2+\left (-1 \right )^2}}$

$\frac{\left |\frac{3}{2}x_{0}+y_{0}-d \right |}{\sqrt{\left ( \frac{3}{2} \right )^2+1^2}}=\frac{\left |\frac{2}{3}x_{0}-y_{0}+b \right |}{\sqrt{\left ( \frac{2}{3} \right )^2+\left (-1 \right )^2}}$

$\frac{\left |\frac{3}{2}x_{0}+y_{0}-d \right |}{\sqrt{\frac{9}{4}+1}}=\frac{\left |\frac{2}{3}x_{0}-y_{0}+b \right |}{\sqrt{\frac{4}{9}+1}}$

$\frac{\left |\frac{3}{2}x_{0}+y_{0}-d \right |}{\sqrt{\frac{13}{4}}}=\frac{\left |\frac{2}{3}x_{0}-y_{0}+b \right |}{\sqrt{\frac{13}{9}}}$

$\frac{\left |\frac{3}{2}x_{0}+y_{0}-d \right |}{\frac{1}{2}\sqrt{13}}=\frac{\left |\frac{2}{3}x_{0}-y_{0}+b \right |}{\frac{1}{3}\sqrt{13}}$

$\frac{1}{3}\sqrt{13}\cdot \left |\frac{3}{2}x_{0}+y_{0}-d \right |=\frac{1}{2}\sqrt{13}\cdot \left |\frac{2}{3}x_{0}-y_{0}+b \right |\; \; /:\sqrt{13}$