zadanie 18 (0-5) zbiór rozszerzenie

$\cos ^2x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin x\cos x-\sin ^2x=0$

Podzielimy równanie obustronnie przez $\cos ^{2}x\neq 0$

$\cos ^{2}x\neq 0\; \; \Rightarrow\; \; \cos x\neq 0\; \; \Rightarrow \; \; x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi, \; \; k\in \mathbb{Z}$

$\cos ^2x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin x\cos x-\sin ^2x=0\; \; /:\cos ^{2}x$

$1-\frac{2\sqrt{3}}{3}\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin ^2x}{\cos ^{2}x}=0$

$1-\frac{2\sqrt{3}}{3}\mathrm{tg}x-\mathrm{tg}^{2}x=0$

Posłużymy się podstawieniem $\mathrm{tg}x=t$ i $t\in \mathbb{R}-\left \{ k\pi \right \},\; \; k\in \mathbb{Z}$

$1-\frac{2\sqrt{3}}{3}t-t^2=0\; \; /\cdot 3$

$-3t^2-2\sqrt{3}t+3=0$

$\Delta =\left ( -2\sqrt{3} \right )^2-4\cdot \left ( -3 \right )\cdot 3=4\cdot 3+36=12+36=48$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

$t_{1}=\frac{2\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{2\cdot \left ( -3 \right )}=\frac{-2\sqrt{3}}{-6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$t_{1}=\frac{2\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{2\cdot \left ( -3 \right )}=\frac{6\sqrt{3}}{-6}=-\sqrt{3}$

Mamy zatem:

$\mathrm{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ lub $\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}$

$\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}\; \; \Rightarrow \; \; x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,\; \; k\in \mathbb{Z}$

Uwzględniając przedział z treści zadania $x\in \left [ -\pi ,\pi \right ]$

$x=-\frac{5\pi }{6}$ lub $x=\frac{\pi }{6}$ lub $x=-\frac{\pi }{3}$ lub $x=\frac{2\pi }{3}$

Zajmijmy się teraz przypadkiem, w którym $\cos ^{2}x= 0\; \; \Rightarrow \cos x=0$

$\cos x=0\; \; \Rightarrow \; \; x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\; \; k\in \mathbb{Z}$

Wówczas:

$\cos ^{2}x=0$

$\cos x=0$

Jeśli chodzi o funkcję sinusa to musimy rozpatrzeć dwa warianty, odpowiednio dla parzystych i nieparzystych $k\in \mathbb{Z}$ :

$\sin x=\left\{\begin{matrix} 1\\ -1 \end{matrix}\right.$

$\sin ^{2}x=1$

Nasze równanie $\cos ^2x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin x\cos x-\sin ^2x=0$ przyjmuje postać:

$\left\{\begin{matrix} 0-\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \left (-1 \right )\cdot 0-\left ( -1 \right )^2=0-0-1=1\neq 0\\ 0-\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot 1\cdot 0- 1^2=0-0-1=1\neq 0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Zatem dochodzimy do sprzeczności. Oznacza to, że $x=\frac{\pi }{2}+k\pi , \; \; k\in \mathbb{Z}$ nie spełnia naszego równania.

Ostatecznie rozwiązaniami naszego równania są: $\left \{ -\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3} \right \}$

Was this helpful?

0 / 0