zadanie 23 (0-3) zbiór rozszerzenie

Określimy dziedzinę naszej funkcji:

$f(x)=\frac{\sqrt{2x}}{5+x^2}-3^{-x-1}$

$D:x^2+5\neq 0\; \; \wedge \; \; 2x\geq 0$

$D:x\geq 0$

Mamy wykazać, że funkcja $f$ ma co najmniej jedno miejsce zerowe mniejsze od $3$ .

Zatem uwzględniając dziedzinę możemy zapisać $x_{0}\in \left [ 0 ,3 \right )$ . Zawężając obszar poszukiwać możemy zapisać, że $x_{0}\in \left [ 0,2 \right ]$

Obliczmy wartość funkcji w punktach $0$ oraz $2$

$f(0)=\frac{\sqrt{2\cdot 0}}{5+x^2}-3^{-0-1}=\frac{0}{5}-3^{-1}=0-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$

$f(2)=\frac{\sqrt{2\cdot 2}}{5+2^2}-3^{-2-1}=\frac{2}{9}-3^{-3}=\frac{2}{9}-\left (\frac{1}{3} \right )^{3}=\frac{2}{9}-\frac{1}{27}=\frac{6-1}{27}=\frac{5}{27}$

Widzimy, że wartość funkcji w $0$ jest ujemna natomiast wartość funkcji w $2$ jest dodatnia. Wykorzystamy teraz twierdzenie Darboux:

Jeśli ${\color{Orchid} a< b}$ , ${\color{Orchid} f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}}$ jest funkcją ciągłą i ${\color{Orchid} f\left ( a \right )\cdot f\left ( b \right )< 0{\color{Orchid} }}$ to istnieje takie ${\color{Orchid} c\in \left [ a,b \right ]}$ takie, że ${\color{Orchid} f(c)=0}$