zadanie 24 (0-3) zbiór rozszerzenie

Wiemy, że nasza funkcja ma równanie

$f(x)=\sqrt{1+4x}$ oraz $x\in \left [ -\frac{1}{4},+\infty \right )$

Punkt styczności to $x_{0}=2$

Skorzystamy ze wzoru na równanie stycznej

${\color{Orchid} y=f'(x_{0})\cdot \left ( x-x_{0} \right )+f(x_{0})}$

Obliczmy wartość funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$

$f(x_{0})=f\left ( 2 \right )=\sqrt{1+4\cdot 2}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3$

Następnie obliczymy pochodną funkcji $f$ oraz jej wartość w punkcie $x_{0}$

$f'(x)=\frac{1}{2}\left ( 1+4x\right )^{-\frac{1}{2}}\cdot 4=\frac{1}{2\sqrt{1+4x}}\cdot 4=\frac{2}{\sqrt{1+4x}}$

Widzimy, że dziedzina pochodnej funkcji $f'(x)$ jest taka sama jak dziedzina funkcji $f(x)$ .

$f'(x_{0})=f'(2)=\frac{2}{\sqrt{1+4\cdot 2}}=\frac{2}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}$

Podstawmy powyższe do wzoru na równanie stycznej

$y=\frac{2}{3}\left ( x-2 \right )+3$

$y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}+3$

$y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$

Was this helpful?

0 / 0