zadanie 25 (0-4) zbiór rozszerzenie

$f(x)=x^4-2x^3+x^2-1$

$x\in \left [ -1,3 \right ]$

Obliczymy pochodną funkcji oraz jej miejsca zerowe

$f'(x)=4x^3-6x^2+2x$

$f'(x)=0\; \; \Leftrightarrow 4x^3-6x^2+2x=0$

$4x^3-6x^2+2x=0\; \; /:2$

$2x^3-3x^2+x=0$

$x\left ( 2x^2-3x+1 \right )=0$

$x=0\; \; \vee \; \; 2x^2-3x+1=0$

$\Delta =\left ( -3 \right )^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1\; \; \Rightarrow \; \; \sqrt{\Delta }=1$

$x_{1}=\frac{3-1}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$x_{2}=\frac{3+1}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$

Zatem:

$f'(x)=0\; \; \Rightarrow \; \; x=0\; \; \vee \; \; x=\frac{1}{2}\; \; \vee \; \; x=1$

Widzimy, że wszystkie miejsca zerowe pochodnej znajdują się w przedziale $\left [ -1,3 \right ]$

Obliczymy wartość funkcji $f(x)$ w tych punktach. Oraz wartość funkcji w krańcach przedziału $\left [ -1,3 \right ]$

$f(-1)=\left ( -1 \right )^4-2\cdot \left ( -1 \right )^3+\left ( -1 \right )^2-1=1+2+1-1=3$

$f(0)=0^4-2\cdot 0^3+0^2-1=-1$

$f\left ( \frac{1}{2} \right )=\left ( \frac{1}{2} \right )^4-2\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^3+\left (\frac{1 }{2} \right )^2-1=\frac{1}{16}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-1=-\frac{15}{16}$

$f(1)=1^4-2\cdot 1^3+1^2-1=1-2+1-1=-1$

$f(3)=3^4-2\cdot 3^3+3^2-1=81-54+9-1=35$

Ostatecznie najmniejsza wartość funkcji jest równa $\left (-1 \right )$ a największa jest równa $35$

Zbiór wartości funkcji $f$ : $\left [ -1,35 \right ]$

Was this helpful?

0 / 0

Dodaj komentarz 0