Zbiór liczb naturalnych, to zbiór liczb zaczynających się od zera, a każda następna liczba jest o jeden większa od poprzedniej czyli 0, 1, 2, 3, 4, … 99, 100, …
A co to jest dzielnik? Na pewno każdy pięcioklasista wie co to jest dzielenie i z jakich składa się elementów. Tak, więc w ramach przypomnienia:
| dzielna | : | dzielnik | = | iloraz |
Dziś zajmiemy się dzielnikiem. Wiemy na pewno, że nie może on być zerem, bo jak to kiedyś mawiali „Pamiętaj cholero nigdy nie dziel przez zero”. A co jeśli weźmiemy 1? Wówczas jedynka może być dzielnikiem każdej liczby naturalnej. Inaczej mówiąc każda liczba naturalna jest podzielna przez 1, a wynikiem takiego dzielenia jest ona sama. Analogicznie, dzielnikiem każdej liczby naturalnej jest ona sama, gdyż dzieląc dowolna liczbę naturalną przez samą siebie otrzymujemy 1. Idźmy dalej i weźmy 2 i tu też wiemy, że 2 może być dzielnikiem tylko liczby parzystej czyli zakończonej na 2,4,6,8 lub 0. Czyli widzimy, że każda liczba naturalna parzysta ma przynajmniej dwa dzielniki 1 i 2. Innymi słowy jeśli podzielimy dowolną liczbę naturalna parzystą przez 1 lub 2 to otrzymamy wynik całkowity, czyli bez reszty. Podsumowując aby znaleźć dzielnik danej liczby naturalnej musimy znaleźć taką liczbę (dzielnik), która dzieli tą liczbę naturalną bez reszty.
Weźmy sobie dowolną liczbę naturalną na przykład 12 i poszukajmy jej dzielników. Na pewno pierwszym naszym skojarzeniem będzie 1, ponieważ 12 : 1 = 12. Drugim naszym „pewniakiem” będzie 2 ponieważ 12 : 2 = 6. Idąc za ciosem skoro 2· 6 = 12 to widzimy też, że 6 jest dzielnikiem 12 bo 12 : 6 =2. Znając tabliczkę mnożenia, wiemy że 3· 4 = 12 więc od razu widzimy, że 3 i 4 również są dzielnikami 12, bo 12 : 3 =4 i 12 : 4 = 3. Szukając dzielników nie możemy zapomnieć o 12, ponieważ 12 : 12 = 1. Podsumowując ten przykład postarajmy się wypisać wszystkie dzielniki liczby 12. Dzielnikami liczby 12 będą: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Prawda, że jest to łatwe? Najogólniej rzecz ujmując musimy znaleźć wszystkie iloczyny, które dają naszą liczbę naturalną i wówczas czynniki naturalne tych iloczynów będą naszymi dzielnikami.
Tak więc, jaka możemy zdefiniować „dzielnik”? Najłatwiej:
Dzielnik to liczba naturalna, która dzieli bez reszty dowolną liczbę naturalną
Dla ciekawskich dodam, że w matematyce występują liczby doskonałe (perfect number), czyli takie liczby naturalne, które są równe sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. Przykładem liczby doskonałej jest 28 (dzielniki: 1, 2, 4, 7, 14, 28). Dodając jej dzielniki bez jej samej otrzymujemy 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Zajmijmy się teraz największym wspólnym dzielnikiem dwóch liczb w skrócie NWD. Jak sama nazwa wskazuje jest to największy taka sama liczba spośród dzielników dwóch liczb. Najlepiej zobrazuje to przykład przedstawiony poniżej.
Weźmy dwie dowolne liczby 28 i 35. Pierwszym krokiem będzie wypisanie dzielników dla 28 będą to liczby 1, 2, 4, 7, 28. Następnie wypisujemy dzielniki a dla 35. Będą nimi 1, 5, 7, 35. Kolejnym krokiem jest wybranie największej wspólnej liczby dla obu cyfr. W tym wypadku będzie to 7. To właśnie 7 jest największym wspólnym dzielnikiem 28 i 35. Możemy to zapisać symbolicznie NWD(28 , 35) = 7.
Was this helpful?
2 / 0